![]()
Πρόλογος
Η εργασία αυτή δε σκοπεύει να εξαντλήσει όλο το εύρος που κρύβει ο τίτλος της. Όλα ξεκίνησαν από την συνάντησή μου με τον κ. Σπύρο Γιωργαντά και την όμορφη συζήτηση που είχαμε γύρω από θέματα μουσικής και επιστήμης. Μάλιστα, είχα πρόσφατα μελετήσει την πολύ αξιόλογη και ουσιαστική εργασία του Νέστορα Ταίηλορ Η Αρμονία των Πυθαγορείων (εκδόσεις Νεφέλη 2000) και έτσι, μετά και από την παρότρυνση του κ. Γιωργαντά, αποφάσισα να εργαστώ κι εγώ πάνω σ’ αυτό το θέμα, όχι βέβαια διεξοδικά, όπως το κάνει το προαναφερθέν βιβλίο, αλλά απευθυνόμενος σε ένα πλατύτερο αναγνωστικό κοινό, με στόχο να καταγράψω, όσο γίνεται πιο απλά, την ιστορική πορεία της έννοιας αρμονία από τον Πυθαγόρα μέχρι σήμερα.
Οδηγός μου, λοιπόν, το βιβλίο του Ταίηλορ. Βέβαια, δε στάθηκα μόνο στην πυθαγόρεια άποψη περί αρμονίας, γι’ αυτό ήταν λίγα τα μαθηματικά που χρειάστηκα, παραπέμποντας έτσι για το μέλλον μια διεξοδικότερη μελέτη του θέματος, το οποίο, ούτως ή άλλως, αποτελεί μια ανεξάντλητη πηγή ενδιαφέροντος κι έμπνευσης. Η εργασία μου λοιπόν περί αρμονίας ζητεί εκ των προτέρων συγγνώμη για τα αναπόφευκτα (εύχομαι λίγα) λάθη και ατέλειες που κρύβει.
Εισαγωγικά
Τι είναι αυτό που οδηγεί την ανθρώπινη σκέψη σε κάτι το ενωτικό, σε κάτι που υπέρκειται της συνείδησης του υποκειμένου, ακόμα και αυτού του ιδίου του σύμπαντος; Το ίδιο «παραμύθι», δηλαδή οι περισσότερες θεωρήσεις φιλοσοφικών επιστημονικών συστημάτων ή θρησκειών, έχουν το ίδιο κοινό γνώρισμα, αυτό της αναγωγής σε κάτι το ιδεατό, το ιδανικό, το όμορφο – κατ’ επέκταση στατικό και αμετάβλητο. Αυτό που ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του, και όχι μόνον, όριζαν ως αρμονία ικανοποιώντας ένα αίτημα/απαίτηση του ανθρώπινου νου για να μπορεί να «χαζεύει» τα δημιουργήματά του — στατικά και αυτά και αμετάβλητα στο χρόνο — αλλά και τα δημιουργήματα των θεών του… Εξ άλλου, η σίγουρη έλευση του θανάτου, του επιτείνει αυτή τη βεβαιότητα, αφού γνωρίζει ότι το μέλλον δεν δίνει ρόλο στο ίδιο συγκεκριμένο δημιούργημα της φύσης ούτε καν για μια δεύτερη φορά.
Θεατής, λοιπόν, ο άνθρωπος κατάφερε να μετατρέψει το «ὁρᾶν» σε «θεωρεῖν» (εδώ η ελληνική σκέψη έκανε την καινοτόμο είσοδό της) διακατεχόμενος από μια ανάγκη να εντοπίσει τις πάγιες σταθερές, τόσο της ουσίας του κόσμου — ψυχής και ύλης — όσο και της δικής του. Η ομορφιά της δικής του ψυχής τον έκανε να αναζητεί την αρμονία και την ομορφιά της ουσίας ολόκληρου του κόσμου, ένα γυρολόγο από τα βάθη του υποσυνειδήτου (ατομικού και συλλογικού) στα πανηγύρια των αλλαγών του χρόνου, στις εσχατιές του σύμπαντος.
Αυτή η αναζήτηση, του έδινε τις πιο κομψές, από αισθητική άποψη, εξηγήσεις, καθώς και τα μοντέλα των θεωρήσεων και αναγωγών του. Ίσως η μουσική να ήταν και το πρώτο ολοκληρωμένο μοντέλο εξιδανίκευσης και προβολής συμπαντικών αρχέτυπων πάνω στις τρεμάμενες από φόβο – αλλά και σεβασμό στο Αιώνιο και Ωραίο – ψυχές των ανθρώπων. Κομμάτι εξ άλλου του Ωραίου και η ψυχή: Θυμάται, άδει, σημαίνει, πληροφορεί ώστε η αλήθεια να φτάνει σε μας φθαρμένη, τίμημα για το ένδυμα που αναγκάστηκε να φορέσει κατοικώντας προσωρινά στο ανθρώπινο σώμα.
Εδώ, λοιπόν, είναι όλη η ουσία του θέματος. Από τη μουσική ως τις τελευταίες θεωρίες των μοντέρνων φυσικών, οι εξισώσεις και οι σχέσεις που εκφράζουν μετρήσιμες ποσότητες διορθώσεων, ώστε να αποφεύγονται οι απειρισμοί[1].
Έτσι από το πυθαγόρειο κόμμα ως το μικρόκοσμο της ύλης ή «κατάρα», θα λέγαμε, συνεχίζεται.
Η αλήθεια φτάνει στα μάτια μας και στα όργανα μέτρησης κατατεμαχισμένη και φθαρμένη, χωρίς να τηρεί τα κομψά μοντέλα των απαιτήσεών μας. Γιατί ένα ιδανικό και γραμμικό σύστημα εξισώσεων το ελέγχουμε και το κατανοούμε καλύτερα από το να μπλέκουμε σε περιπέτειες με απειρισμούς, μικροποσότητες και με ηχητικά κόμματα. Έτσι κατανοείται και η εμμονή των Πυθαγορείων στους ακεραίους, που τελικά, μετατράπηκε σε ψυχονευρωτισμό με τα γνωστά αποτελέσματα για τη σχολή του.
Αρμονία – Γενικά
Μυθική θεά, κόρη του Άρη και της Αφροδίτης. Φέρεται ως σύζυγος του Κάδμου (διακρίνεται, ενδεχομένως, μια βοιωτική καταγωγή του μύθου) με παιδιά τον Πολύδωρο, τη Σεμέλη (μητέρα του Διονύσου), την Ινώ (Λευκοθέα) και την Αγαύη. Προσωποποιεί, ως θεά, την αρμονία στις ηθικές, κοινωνικές και οικογενειακές σχέσεις και, φυσικά, δεν είναι τυχαίο και το όνομα Κάδμος, απ’ το οποίο δανείστηκαν οι Πυθαγόρειοι τη λέξη «Κόσμος» (κόσμημα) για την ίδια την φύση.
Σύμφωνα με το λεξικό της ελληνικής γλώσσας των Η. Liddell – Η. Scott, η αρμονία — με την έννοια του αρμόζω — προέρχεται από τη ρίζα «Αρ-», από όπου το ρήμα αραρίσκω και άρω και οι έννοιες άρθρον, αρμός, αρμονία, αριθμός, άρτιος, άριστος, αρετή, άρμα και ίσως Άρειος, Άρης, (καθόλου, βέβαια, απίθανο σαν πατέρας της Αρμονίας).
Έτσι το ετυμολογικό υπόβαθρο της σκέψης των Πυθαγορείων μας υποδεικνύει δυο βασικές για μας έννοιες: Αυτή της Αρμονίας και αυτήν του Αριθμού, οπότε, με το πάντρεμα της πρώτης με τον Κάδμο (Κόσμο), έχουμε κωδικοποιημένη, σε αυτές τουλάχιστον τις έννοιες, την τέλεια ομορφιά του κόσμου.
Κατ’ επέκταση και σύμφωνα πάλι με τις απόψεις των Πυθαγορείων, οι «εξισώσεις» περιγραφής της ομορφιάς αυτής (ψυχής και ύλης) θα’ χουν, όσο το δυνατόν, απλούστερες μαθηματικές σχέσεις και αναλογίες, πρόβλημα που η σκέψη από τον Πυθαγόρα μέχρι τη θεωρία των υπερχορδών ερευνά ακόμα. Η έννοια Αρμονία φέρεται επίσης να σχετίζεται και με τη συμφωνία των ήχων και καταγράφεται έτσι ως πρόσωπο μυθικό, σύντροφος της ΄Ηβης, των Χαρίτων και των Ωρών (βλ. Ομηρικό ύμνο εις Απόλλωνα 195).
Σίγουρα, η επίσημη είσοδός της σαν μουσική έννοια έγινε από τον Πυθαγόρα, στον ελλαδικό χώρο τουλάχιστον[2].
Σύμφωνα με το Λεξικό της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής του Σόλωνα Μιχαηλίδη και σε συνδυασμό με το προαναφερθέν λεξικό, αρμονία σημαίνει τη σύνδεση, τη συναφή, την άρθρωση, τον αρμό, το σημείο σύνδεσης αντικειμένων (αἱ τῶν λίθων ἁρμονίαι, Διοδ. Σικ. 2,8) και κυρίως τη σωστή μαθηματική ή γεωμετρική αναλογία των μερών ενός συνόλου.
Επίσης, είναι συνώνυμη και με την αρμογή, που σημαίνει το χόρδισμα των μουσικών στα όργανά τους, ιδιαίτερα όταν αλλάζουν (προσαρμογή) από μια αρμονία σε μια άλλη, π.χ. από Δώρια σε Φρύγια κλπ. Κάτι που συμβαίνει ακόμα και σήμερα στα έγχορδα όργανα με κινητά τάστα (κανονάκι, ταμπουράς, σάζι κλπ.)
Ο Αριστόξενος λέει ότι οι προηγούμενοι απ’ αυτόν, που ασχολήθηκαν με την αρμονία (τους ονομάζει Αρμονικούς), ορίζουν σαν τέτοια το διάστημα 8ης καθαρής και τη διαφορετική διάταξη των φθόγγων μέσα στο διάστημα ογδόης, κάτι που, όπως φαίνεται, υιοθετήθηκε και στην εποχή του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, μαθητής των οποίων υπήρξε ο Αριστόξενος (ἐκ παςῶν ὀκτώ οὐσῶν [χορδῶν, φωνῶν] μίαν ἁρμονίαν συμφωνεῖν)[3].
Για τον Αριστοτέλη και τον Ηρακλείδη τον Ποντικό (μαθητής του Πλάτωνα και μετά τον Αριστοτέλη και αυτός), ο όρος αρμονία ταυτίζεται με τα συστήματα των κλιμάκων. ΄Ετσι έχουμε τουλάχιστον τρεις «αρμονίες ελληνικές»: Τη Δωρική, την Αιολική και την Ιωνική, κατ’ αναλογία των τριών ελληνικών φυλών, ενώ από τους μεταγενέστερους συγγραφείς υιοθετήθηκαν οι ακόλουθες εφτά, τα ονόματα των οποίων καμιά φορά αλλάζουν:
1. Μυξολυδική σι – σι
2. Λυδική ντο – ντο
3. Φρυγική ρε – ρε
4. Δωρική μι – μι
5. Υπολυδική λα – λα
6. Ιωνική (Υποφρυγική) σολ – σολ
7. Αιολική λα – λα
Στη βυζαντινή μουσική, ο όρος αρμονία έχει το ίδιο περιεχόμενο, που είχε και στην αρχαιότητα, ενώ στη δυτική μουσική[4] η έννοια αποκτά άλλο περιεχόμενο. Αυτό θα πρέπει να αναζητηθεί στις πρώτες προσπάθειες πολυφωνίας στη γαλλοφλαμανδική σχολή κάπου στον 14ο και 15ο αιώνα μ.Χ., σημαίνοντας πια απλά τη σύνδεση, άρμοση και κίνηση των συγχορδιακών μαζών, με οτιδήποτε κι αν σημαίνει ο όρος από τότε μέχρι τη σημερινή «jazz» εποχή[5].
Ενώ για τους αρχαίους, το φθογγικό υλικό (με τα μικροδιαστήματα) και ο όρος αρμονία είχαν να κάνουν με πιο βαθύτερες ουσίες, για τους νέους μουσικούς πολιτισμούς σήμαιναν, απλά, έναν ιδιαίτερο τρόπο οργάνωσης των μουσικών φθόγγων.
Ίσως οι πρώτες δονήσεις της στιγμής της γέννησης του σύμπαντος να ηχούσαν στα αυτιά των αρχαίων θεωρητικών και να φώλιαζαν στις ψυχές τους (ear=αυτί, hear=ακούω, heart=καρδιά)[6]. Μυστηριώδη πράγματα βέβαια, ειδικά για τους ορθολογιστές, δεμένα όμως με τις μαγικές δυνάμεις των αριθμών και των φωνηέντων (φυσικά και με τα αναπόσπαστα στοιχεία του ρυθμού και του μέτρου, συγχωνευμένα αδιαχώριστα), τυλίγουν το κουβάρι του μυστηρίου μέχρι σήμερα.
Κάτω, λοιπόν, από τη στάχτη του παρελθόντος υπάρχουν πάντα σπίθες παλαιού πνεύματος έτοιμες να ανάψουν νέες φωτιές πάνω στις σημερινές θεωρήσεις μας για το φθογγικό υλικό και τα μουσικά συστήματά μας, ώστε να δώσουν νέα άλματα στη μουσική… Σήμερα η κατάσταση είναι σαν εκείνη που επικρατούσε κατά τους χρόνους της μετάβασης από τους εκκλησιαστικούς τρόπους στις μείζονες και ελάσσονες κλίμακες — φυσικά μιλώντας για τη δυτική μουσική. Η πρακτική έχει προχωρήσει σε τέτοιο σημείο, που η θεωρία δεν την ακολούθησε. Όλοι οι συνθέτες χρησιμοποιούν τις εκτεταμένες μελωδικές και αρμονικές σχέσεις που προκύπτουν από τη χρήση του υλικού της χρωματικής κλίμακας, αλλά, λόγω ελλείψεως ενός κατάλληλου θεωρητικού υπόβαθρου, ακόμη προσπαθούν να στριμώξουν κάθε εκδήλωση μέσα στα στενά όρια της διατονικής ερμηνείας[7].
Ηρακλείτεια Αρμονία
Δε θα αναφερθώ εκτενώς στη θεωρία του μεγάλου Εφέσιου φιλοσόφου[8], αλλά θα απομονώσω από αυτήν εκείνα τα στοιχεία που έχουν να κάνουν με την έννοια/λέξη της αρμονίας, μιας και δεν είναι του παρόντος η ανάπτυξη μιας θεωρίας καθαρά περί φύσης, που περιλαμβάνει οντολογικές, γνωσιολογικές και ηθικές αρχές καθώς και ένα «ολοκληρωμένο» προσωκρατικό κοσμολογικό μοντέλο[9].
΄Ετσι, από τα συγκεκριμένα αποσπάσματα, τα οποία διασώθηκαν από γραπτά κατοπινών συγγραφέων, σχολιαστών διαφορετικής προελεύσεως και εγκυρότητας (από όλους θεωρείται πιο έγκυρη η άποψη του Αριστοτέλη[10], Ρητορική [ΙΙ] απόσπασμα 1, και του Διογένη Λαέρτιου, οι οποίοι αποδέχονται την ύπαρξη βιβλίου «περί φύσεως») παραθέτω τα δύο επόμενα αποσπάσματα, τα οποία θα πρέπει να συνδυαστούν, τουλάχιστον από την άποψη της φυσικής: (54) «Ἁρμονίης ἀφανής φανερῆς κρέσσων» και (123) «Φύσις κρύπτεσθαι φιλεῖ».
Εδώ η ηρακλείτεια σκέψη προσδίδει στην έννοια αρμονία όχι έναν επί πλέον μουσικό χαρακτήρα, αλλά μάλλον την ταυτίζει με αυτή της συμμετρίας και κανονικότητας των νόμων της φύσης. Γι’ αυτόν η «κρυμμένη»[11] ομορφιά/αρμονία είναι καλύτερη από την κοινή/φανερή, μιας και η πραγματική φύση αρέσκεται στο να κρύβεται και να «παίζει» με τον παρατηρητή ένα παιγνίδι χωρίς τέλος, χωρίς νικητή και φυσικά,με πολλές γι’ αυτόν εκπλήξεις.
Για να φτάσει όμως κανείς να γνωρίσει την πραγματική φύση και την αρμονία της, που διέπει τα πάντα, πρέπει (σύμφωνα με ένα άλλο απόσπασμα, το οποίο επιβάλλεται να συνεκτιμηθεί με τα δύο προηγούμενα: (18) «Ἐάν μή ἔλπηται ἀνέλπιστον οὐκ ἐξευρήσει, ἀνεξερεύνητον ἑόν καί ἄπορον»), να επιδείξει επιμονή, ώστε να βρεθεί μπροστά στο ζητούμενο ἀνέλπιστον, το ἄπορον, το ἀνεξερεύνητον, γιατί δεν υπάρχει από πριν κάποιος συγκεκριμένος δρόμος (πόρος) για το νέο, τη γνώση και την ομορφιά. Επομένως πρέπει να αναζητηθούν νέοι ατραποί και καινούργιες ιδέες (Το άπορον = το ἀπροσπέλαστον).
Σύμφωνα με τα προηγούμενα, εκφράζω την άποψη ότι ή ο Ηράκλειτος διάβασε τους μοντέρνους φυσικούς ή αυτοί αποκωδικοποίησαν σωστά τη σκέψη του (ειδικά ο Heisenberg τον έχει σχολιάσει κατά καιρούς)[12]. Αυτό γιατί οι θεωρίες των τελευταίων δεκαετιών — περί κρυμμένης συμμετρίας (gauge theories), υπερσυμμετριών, σπασιμάτων συμμετριών (spontaneous breaking of symmetry), ενοποιήσεων δυνάμεων και αλληλεπιδράσεων, κομψά μοντέλα εξισώσεων, θεωρία αλληλεπιδράσεων με εναλλαγή σωματιδίων — θυμίζουν, κρύβουν ουσιαστικά την ουσία και το βάθος της σκέψης του Ηράκλειτου. Με λίγα λόγια οι νόμοι της φυσικής, σύμφωνα και με τον Ηράκλειτο και με τους φυσικούς, είναι συμμετρικοί, αλλά οι συμμετρικές λύσεις είναι ασταθείς. Δηλαδή ζούμε σε ένα μη συμμετρικό περιβάλλον, έτσι ώστε να μη μπορούμε να αντιληφθούμε την αρμονία της φύσης.
Ειδικά η ιδέα της κρυμμένης συμμετρίας αποδείχθηκε αξιόλογη στη φυσική, καθόσον ενοποιεί φαινόμενα που φαίνονται τελείως ασύνδετα (π.χ. η ασθενής και η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση, η διαφορά των οποίων έγκειται στη μάζα των αντίστοιχων μποζονίων που τις μεταφέρουν). Αλήθεια, τα αποσπάσματα: (90) «Πυρός ἀνταμοιβή τά πάντα καί πῦρ ἁπάντων…» και (30) «…Πῦρ ἀείζωον ἁπτόμενον μέτρα καί ἀποσβενόμενον μέτρα» δεν προαναγγέλλουν τη θεωρία των αλληλεπιδράσεων μέσω σωματιδίων μποζονίων, φωτονίων (πυρ;).
Όσο για την ίδια την εμφανή συμμετρία/αρμονία, η ύπαρξή της διατυπώνει στη φυσική τους περισσότερους νόμους διατήρησης φυσικών μεγεθών (ενέργεια, ορμή, στροφορμή κλπ.) Κι ας μου επιτραπεί να «παίξω» και λίγο με τις λέξεις και τα γράμματα, εκείνο το ear των Άγγλων (το αυτί δηλαδή, που άκουε τους πρώτους ήχους των δονήσεων της πρώτης έκρηξης) μήπως έχει σχέση με τη γέννηση της Ρέας; Kαι ο Κρόνος/Χρόνος, που τρωει τα παιδιά του; Kαι από τότε, με την αδιάκοπη Ροή (Διαλεκτική), φτάνουμε στο: Τα πάντα ρει…, τα πάντα κατ’ εριν…, τα πάντα κατά χρεών… Και να, από κοντά ο Έρως (γιορταζόταν κατά το έαρ) και η μούσα Ερατώ. Τα γράμματα παίζουν και γίνονται έννοιες άφθαρτες και αιώνιες για να καταδεικνύουν και να σημαίνουν.
Για τον Ηράκλειτο, λοιπόν, η καλλίστη αρμονία χωράει και τον έρωτα και την έριδα και αυτά τα δυο στοιχεία με τη σειρά τους συμπορευόμενα, καθορίζουν και κατευθύνουν τη ροή των πραγμάτων. Συμπαντική, λοιπόν, υπόθεση γι’ αυτόν η αρμονία, υπαρκτή όμως μέσα από αντίθετες έννοιες (μη ξεχνάμε και τους μυθολογικούς γονείς της). Πιο κοντά λοιπόν η σκέψη του Ηράκλειτου στο μύθο.
Το μονόχορδο και η τετρακτύς
Πρόκειται, σίγουρα, για ένα τελικό στάδιο πειραματικής εξέλιξης των μηχανισμών που εφεύραν ο Πυθαγόρας[13] και οι μαθητές του για να καθορίσουν τις μαθηματικές σχέσεις που διέπουν τα μουσικά διαστήματα[14].
Το μονόχορδο ή χορδοτόνιο είναι ένα όργανο με μια χορδή (πρόγονος του ψαλτηρίου ή κανονάκι, σε διάφορα μεγέθη και μορφές), ένας μαθηματικός μουσικός «κανών», βαθμονομημένος — κάτι σαν ξύλινος χάρακας — πάνω στον οποίον ήταν στηριγμένη μια χορδή τεντωμένη. Από τη μυθολογία[15] ήδη είναι γνωστό σαν δημιούργημα του Απόλλωνα δωρηθέν στους ανθρώπους, ενώ ο Πολυδεύκης (2ος μ.Χ.) δίνει την καταγωγή του οργάνου αυτού στους Άραβες (ΙΙ, 60). Στα δε σημιτικά-εβραϊκά, kanum ή qauoum σημαίνει ραβδί.
Για να μην μπω σε λεπτομέρειες, το αποτέλεσμα των μετρήσεων του Πυθαγόρα και των μαθητών του πάνω σ’ αυτό το όργανο-κανόνα, μας λέει ότι τα εύηχα (σύμφωνα) μουσικά διαστήματα εκφράζονται με λόγους ακεραίων. Ειδικά το διάστημα της οκτάβας (όταν ο υπαγωγέας – κινητός καβαλάρης βρίσκεται στο μέσον ακριβώς της χορδής) εκφράζεται με το λόγο (2:1), εναρμονίζει δηλαδή τη μονάδα και τη δυάδα δίνοντας έτσι και το λόγο των συχνοτήτων (διάστημα 8ης καθαρής). Τέλειο λοιπόν διάστημα και το όνομα που δόθηκε από τους Πυθαγόρειους σ’ αυτό: Αρμονία.
Αν συνεχίσουμε την κατάτμηση της χορδής με τη βοήθεια του υπαγωγέα σύμφωνα με τους λόγους (3:2) και (4:3), δημιουργούμε τα μουσικά διαστήματα της 5ης καθαρής (διοξεία) και 4ης (συλλαβή ή συλλαβά) αντιστοίχως. ΄Ετσι οι τέσσερις πρώτοι αριθμοί (1, 2, 3, 4 με άθροισμα 10, την ιερά τετρακτύ) δημιουργούν με τις αναλογίες τους τα πιο σύμφωνα μουσικά διαστήματα.
Ανάλογες διαστημικές αναλογίες χρησιμοποιήθηκαν για να εκφράσουν ακόμα και αποστάσεις ουρανίων σωμάτων καθώς και συγκεκριμένες εποχές του έτους. Σχετικές αντιλήψεις και θεωρήσεις αναφέρονται στους Χαλδαίους, στους Αιγύπτιους, στους Σουμέριους, καθώς και στα ιερατεία της Άπω Ανατολής.
Ειδικότερα κατά τις αντιλήψεις των Χαλδαίων (επαφές με τους οποίους είχε, σύμφωνα με τους βιογράφους του, ο Πυθαγόρας), το διάστημα 1ης (1:1) συνδέεται με την άνοιξη, το διάστημα 8ης (2:1) με το καλοκαίρι, το 5ης (3:2) με το χειμώνα, ενώ το 4ης (4:3) με το φθινόπωρο. Παράλληλα, στην Κίνα η μουσική θεωρείτο απεικόνιση μιας αιώνιας, άφθαρτης και πανταχού παρούσας αρμονίας, ούτως ώστε όφειλε, για να είναι «σωστή», να είναι εναρμονισμένη με το σύμπαν ολόκληρο. Σύμφωνα λοιπόν με τις θεωρήσεις των ιερατείων της Κίνας, η γη και ο ουρανός, τα δύο συζευγμένα αντίθετα, εκφράζονται από τους αριθμούς 2 και 3 αντίστοιχα:
2: Γη – Γιν, σημαίνει το αιώνιο θηλυκό, το σκοτάδι, το κρύο, τους άρτιους αριθμούς.
3: Ουρανός – Γιανγκ, σημαίνει το αρσενικό (που γονιμοποιεί τη γη), το φως, τη θερμότητα και φυσικά τους μονούς αριθμούς.
Το άθροισμα αυτών των δύο όψεων του «νομίσματος», το πέντε (5), μας δίνει και εκφράζει τις αντίστοιχες «σωστές» κλίμακες των πέντε τόνων, (πεντατονικές κλίμακες), που είναι ιερές και απαράβατες. Ξεκινώντας κάθε φορά από διαφορετική νότα δημιουργούμε και μια άλλη πεντατονική (Η κάθε μια από αυτές αντιπροσωπεύει και μια διαφορετική εποχή του έτους, ακόμα και μέχρι σήμερα στην Κίνα). Αξιοσημείωτο, βέβαια, είναι το γεγονός ότι οι κλίμακες αυτές είναι ριζωμένες σε διάφορες περιοχές της γης και σε μεγάλες μεταξύ τους αποστάσεις (Δωδώνη – Ηπειρώτικη πεντατονία – Αρμενία, Ινδία, Κίνα, Νότιος Αφρική κ.ά.) Ενδεικτικά, μια πεντατονική κλίμακα φτιάχνεται από συνεχόμενες πέμπτες (3:2) ως εξής:
![]()
Κάθε νέος αυτοκράτορας διέταζε να συγκληθούν οι μουσικοί και οι αστρολόγοι, για να διορθώνουν, αν αυτό χρειαζόταν, από κοινού το μήκος των αυλών ή τα άλλα όργανα, ώστε να αποκαθίσταται ή να συνεχίζεται η παγκόσμια αρμονία κατά την περίοδο και της δικής του ηγεμονίας. Ανάλογα πράγματα θα συναντήσει κανείς και στους άλλους λαούς της Άπω Ανατολής, αλλά και της Ινδίας. Ακόμα και στην ευρωπαϊκή μουσική θα συναντήσουμε την επιμονή των θεμάτων σε όλες σχεδόν τις φόρμες της να «γυρίζουν» στην τονικότητα της δεσπόζουσας (5ης) βαθμίδας.
Η ενότητα, λοιπόν, του σύμπαντος πρέπει να αποδεικνύεται μέσα από κάποια «μαγική» αριθμητική και να υποδεικνύει και τα ανάλογα «μαγικά» σύμβολα, που ο Πυθαγόρας και η σχολή του — σε συνέχεια προηγούμενων εξελιγμένων πολιτισμών[16] — άλλα υιοθέτησαν, άλλα μετάλλαξαν και, φυσικά, άλλα δημιούργησαν.
Ένα τέτοιο πυθαγόρειο σύμβολο είναι η «τετρακτύς», από την οποία αναβλύζει η αιώνια και τέλεια φύση και ίσως σε αυτήν να τελευτά (Παγάν αενάου φύσεως). Εδώ έχουμε την εισαγωγή μιας νέας επαναστατικής άποψης για τη συμβολοποίηση των αιώνιων αρχετύπων. Τί άλλο από τη γεωμετρία και τις τέλειες ιδεατές αναπαραστάσεις εισάγει; Η ιερά τετρακτύς, λοιπόν,
με τα 10 ισόπλευρα τρίγωνα, μια γεωμετρική αναπαράσταση, εκφράζει αριθμητικά τον ιερό αριθμό 10, που είναι το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων (1+2+3+4=10) αριθμών. Ένα «σώμα»[6] δηλαδή, που αντιστοιχίζει τα αιώνια και άφθαρτα πρότυπα/αρχέτυπα με τα πεπερασμένα/εμπειρικά/φθαρτά.
Η πραγματική φύση λοιπόν ρέει μέσα από την τετρακτύν και γίνεται αισθητή εμπειρικά από τον ανθρώπινο νου, αλλά φυσικά, με το αντίτιμο που αναφέραμε στην αρχή. Οι μετρήσεις μας καταγράφουν λάθη, άλογους αριθμούς, μικροκόμματα. Αλλά, ευτυχώς, κι αυτά ακόμα δεν ξεφεύγουν των ανθρωπίνων αισθητηρίων, αφού παρίστανται γεωμετρικά (τρανό παράδειγμα η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές β=γ=1, α=Ö2, άλογος η υποτείνουσα α=Ö2, αλλά υποτείνουσα).
Το πυθαγόρειο κόμμα
Τί είναι τώρα το πυθαγόρειο κόμμα; Όλα ξεκινούν από την προσπάθεια του Πυθαγόρα και των μαθητών του να χωρίσουν την οκτάβα (διαπασών) με ένα συγκεκριμένο τρόπο δημιουργώντας έτσι μια διαστημική σειρά από τόνους, ημιτόνια, ακόμα και μικρότερες υποδιαιρέσεις του ημιτονίου, με αποτέλεσμα την εμφάνιση κλιμάκων. Αυτό, δηλαδή, που οι αρχαίοι ονόμαζαν σύστημα και σήμερα το λέμε κλίμακα. Δε θα επεκταθώ στο θέμα των κλιμάκων. Αλλά, σύμφωνα με αυτά που είπαμε για το μονόχορδο και τις αναλογίες της 8ης και 5ης, μπορούμε να υπολογίσουμε το πυθαγόρειο κόμμα ως εξής: Ξεκινώντας με ένα ντο του πιάνου και προχωρώντας με πέμπτες θα έχω:
Ντο 13/2=σολ1.3/2=ρε2.3/2=λα2.3/2=μι3.3/2=σι3.3/2=
φα#4.3/2=ντο5#.3/2=
=σολ#5.3/2=ρε6#.3/2=
λα6 #.3/2=μι #7.3/2=σι7#.
(οι δείκτες 1,2,3… δείχνουν τη σειρά της οκτάβας)
Με 1 το πρώτο ντο της σειράς θα έχουμε:
σι #7 / ντο1 =(3/2)12 (α)
Αν τώρα ξεκινήσουμε από το ίδιο ντο και προχωρήσουμε με διαστήματα 8ης (2:1), τότε αντί για 61#7 θα βρούμε λογικά τα ντο8 που θα έχει λόγο με το ντο1:
ντο8 / ντο1 = 27 (β)
Η διαφορά των δύο αυτών λόγων (α, β) μας δίνει αυτό που ονομάζουμε πυθαγόρειο κόμμα, μια ακουστική διαφορά πολύ μικρή βέβαια, αλλά ικανή να ταράζει τη βεβαιότητα για τις τέλειες ακέραιες αναλογίες που έψαχναν οι Πυθαγόρειοι.
Μια διαφορά της τάξεως:
(3:2)12 / 27 = 312 / 210 = 1,0136406<1/4 του τόνου.
Έτσι, λοιπόν, σε ένα μουσικό όργανο, αν κρατήσουμε τις 5ες σωστές, θα χαλάσουμε τις 8ες και αντίστροφα.
Οι «συμφωνίες» δηλαδή των 5ων και 8ων δεν συμφωνούσαν τελικά (και με 4ες να προχωρούσαμε θα φτάναμε στο ίδιο αποτέλεσμα).
Τελικά, στα όρια της 8ης οι Πυθαγόρειοι κατέληξαν στις εξής διαστημικές αναλογίες (τις παραθέτω με βάση το βαθμό συμφωνίας τους):
1. 1η (ισοτονία ή ταυτοφωνία) 1/1
2. 2η διαπασών ή οκτάβα) 2/1
3. 5η (διαπέντε ή διοξεία) 3/2
4. 4η (διατεσσάρων ή συλλαβή) 4/3
5. 3η Μεγάλη 5/4 χ 81/80
6. 3η μικρή 6/5 χ 81/80
7. 6η Μεγάλη 5/3 χ 81/80
8. 6η μικρή 8/5 χ 81/80
9. 2α Μεγάλη 9/8
10. 2α μικρή 16/15 χ 81/80
11. 7η Μεγάλη 15/8 χ 81/80
12. 7η μικρή 16/9 χ 81/80
Φυσικά οι 1η, 8η, 5η, 4η ξεχωρίζουν για την πραγματική συμφωνία τους, ενώ τα άλλα διαστήματα για τη διαφωνία τους. Αλλά σήμερα δεν χωρίζουμε τα όργανά μας σύμφωνα με τους λόγους αυτούς. Έχουμε την απαίτηση για μια πιο φυσική κλίμακα με πιο ακέραιες αναλογίες για τα περισσότερα διαστήματα. Έτσι π.χ. προτιμούμε μια «σύμφωνη» 3η μεγάλη φυσική με λόγο (5:4) παρά τη διάφωνη (η διαφοροποίηση του όρου συμφωνία-διαφωνία ανήκει στην Πυθαγόρεια σχολή).
Πυθαγόρεια 5/4 χ 81/80 = 81/64.
Οι δύο αυτές τρίτες έχουν διαφορά της τάξης του:
81/64 : 5/4 = 324/320 = 81/80.
Το ίδιο συμβαίνει και με τα άλλα «διάφωνα», κατά τους Πυθαγόρειους, διαστήματα σε σχέση με τα αντίστοιχα φυσικά. Έχουμε, δηλαδή, μια σταθερή διαφορά (81:80) μεταξύ των Πυθαγορείων και των αντίστοιχων φυσικών διαστημικών λόγων. Αυτή η διαφορά ονομάζεται κόμμα του Διδύμου ή συντονικό κόμμα (επειδή ο Δίδυμος ο Αλεξανδρεύς[17] τον 1ο μ.Χ. αιώνα ήταν αυτός που, πρώτος, ξεκινώντας από την 3η μεγάλη (5:4), υπολόγισε τα υπόλοιπα διάφωνα. Επονομάστηκε Χαλκέντερος για την επίμονη εργατικότητά του στη συγγραφή βιβλίων και Βιβλιολάθας, γιατί έχοντας συγγράψει τεράστιο αριθμό βιβλίων δεν μπορούσε να τα θυμάται. Βέβαια, ο καθορισμός αυτός αμφισβητείται έντονα και αποδίδεται στον Πυθαγόρειο φιλόσοφο και μαθηματικό Αρχύτα[18], που ίσως ήταν ο σημαντικότερος ειδικός σε θέματα ακουστικής (400 – 350 π.Χ.) Μάλιστα, ήταν ο πρώτος που επεξεργάστηκε τους λόγους των διαστημάτων του τετραχόρδου και στα τρία γένη (διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο).
Η αρμονία των σφαιρών
«Ο 6ος π.Χ. αιώνας, ο θαυμαστός αιώνας του Βούδα, του Κουμφούκιου, του Λάο Τσε, των φιλοσόφων της Ιωνίας και του Πυθαγόρα, ήταν μια αποφασιστική καμπή για το ανθρώπινο είδος», λέει ο Καίσλερ. Και συνεχίζει: «Ήταν η αρχή της μεγάλης περιπέτειας, η προμηθεϊκή αναζήτηση των φυσικών εξηγήσεων και των λογικών αιτιών, που θα άλλαζε τη μορφή της ζωής του είδους στα επόμενα δυο χιλιάδες χρόνια ριζικότερα απ’ όσο είχε αλλάξει στα διακόσια χιλιάδες χρόνια πριν».
Όπως είπαμε και πριν, στην απλή διαίρεση της διαπασών ο Πυθαγόρας[19] και οι μαθητές του κατάφεραν την πρώτη μαθηματική αναγωγή της ανθρώπινης εμπειρίας. Τους απλούς λόγους των σύμφωνων διαστημάτων ακολούθησε η γεωμετρική αναπαράσταση των άρρητων αριθμών (γεωμετρική αναγωγή της εμπειρίας, δηλαδή), η οποία προχώρησε ακάθεκτη στην κατάκτηση και της αστρονομικής εμπειρίας. Η ίδια μαθηματική αναγωγή και εκεί…
Για τους Πυθαγορείους, η κάθε αναγωγή της απτής φαινομενικής πραγματικότητας ήταν ένα όνειρο, ένας σκοπός ιερός, που σήμαινε γι’ αυτούς πηγή αιώνιας και τέλειας ζωής. Αριθμοί, αρμονία[20], μουσική, ήταν για αυτούς έννοιες που οδηγούσαν το νου σε πραγματική πνευματική έκσταση… Ήταν εξ άλλου κοντά η εποχή του μύθου, που οι θεοί έρχονταν σε επαφή με θνητούς και θνητές και ερωτεύονταν ο ένας τον άλλο… Και ο μύθος τότε, πριν από την εποχή του βιβλίου, ερχόταν στις ψυχές μόνο μέσω του ήχου και της μουσικής… Το μοντέλο για την αρμονία της διαπασών εκτεινόταν τέλεια ακόμα και στη δομή του ανθρωπίνου σώματος[21] κι από κει λοιπόν κοντά ήταν και τα σώματα των αστροθεών… Εκεί η αρμονία ονομάστηκε «Αρμονία των σφαιρών».
Έτσι, το κοσμολογικό μοντέλο των Πυθαγορείων όριζε για κάθε ουράνιο σώμα και έναν ομόκεντρο κύκλο σε αποστάσεις ανάλογες αυτών των μουσικών διαστημάτων. Και κατ’ επέκταση, όπως και ένα ανθρώπινο σώμα (ουσιαστικά ο Πυθαγόρας θεμελίωσε επιστημονικά την μουσικοθεραπεία), έτσι και το σύνολο των πλανητικών τροχιών σχηματίζει ένα είδος μουσικού οργάνου, του οποίου τη μουσική άκουγε φυσικά μόνον ο Μεγάλος Δάσκαλος.
Πιο συγκεκριμένα, ο Πυθαγόρας όριζε για την απόσταση Γης-φεγγαριού το μουσικό διάστημα του τόνου. Γι’ αυτή του Ερμή και του φεγγαριού το ημιτόνιο και συνέχιζε προς τα αστέρια ως εξής:
Ερμής – Αφροδίτη ημιτόνιο
Αφροδίτη – Ήλιος τρίτη μικρή
Ήλιος – Άρης τόνος
Άρης – Δίας ημιτόνιο
Δίας – Κρόνος ημιτόνιο
Κρόνος – αστέρια τρίτη μικρή
Μια μουσική κλίμακα δηλαδή που με βάση το ντο γίνεται:
Ντο, ρε, μιb, μι, σολ, λα, σιb, σι, ρε,
C, D, Eb, E, G, A, Bb, B, D
(Κάποιοι μετέπειτα συγγραφείς διαφοροποιούνται δίνοντας άλλα διαστήματα).
Ο Νικόμαχος υποστηρίζει ότι τα ονόματα των επτά μουσικών φθόγγων της κλίμακας, στα όρια της διαπασών, βγήκαν από τους επτά πλανήτες και τη θέση τους σε σχέση με τη Γη (βέβαια, σύμφωνα με το τότε κοσμολογικό μοντέλο)[22].
Έτσι έχουμε την εξής αντιστοιχία:
Σφαίρες Διαπασών
Κρόνος Υπάτη (λόγω της μεγάλης
αποστάσεως από τη Γη
Δίας Παρυπάτη
Άρης Λιχανός
Ήλιος Μέση
Ερμής Παράμεση
Αφροδίτη Παρανήτη
Σελήνη νήτη (νέατον = χαμηλό, πιο κοντά στη Γη
Ουσιαστικά, λοιπόν, σύμφωνα με τα εκτεθέντα, η μουσική αρμονία του Πυθαγόρα και της σχολής του, κυβερνάει τα πάντα — από τις ψυχές των όντων ως τις αιώνιες περιφορές των αστεριών — θέσεις που επηρέασαν μεγάλους διανοητές της αρχαιότητας (π.χ. Πλάτων[23]), ακόμα και μεταγενέστερους (μ.Χ.) φυσικούς (π.χ. Κέπλερ), πάνω στους οποίους στηρίχθηκαν οι θεωρίες των φυσικών του 20ού αιώνα (Einstein, Weinberg κ.ά.)
Συνήθως τα γοητευτικά μοντέλα των φιλοσόφων επηρεάζουν βαθύτατα τους κατ’ εξοχήν λιγότερο ονειροπόλους και λάτρεις των ποιητικών συλλήψεων, επιστήμονες.
Ο καρπός του έρωτα του Κέπλερ με το πυθαγόρειο όνειρο έφτασε να γίνει το φανταστικό θεμέλιο (επισφαλές βέβαια) της σύγχρονης αστρονομίας[24].
Ένα πυθαγόρειο όνειρο, που ουσιαστικά είχε ενσωματωθεί στις αναζητήσεις του Πλάτωνα στο έργο του περί φύσεως (Τίμαιος). Και έτσι, σαν αναπόσπαστη πλατωνική σκέψη επηρέασε βαθύτατα το έργο μεγάλων Ευρωπαίων διανοητών (Descartes, Spinoza κ.ά.)
Επίλογος
Ο φόβος για την αταξία και το χάος ίσως να γέννησε την ανάγκη του ανθρώπινου νου να αναζητήσει την καλλίστη Αρμονία. Γι’ αυτόν οι «καλές» επιθυμητές αναλογίες, καθώς και οι τέλειες γεωμετρικές δομές, θα είναι πάντα τα αιώνια αρχέτυπα (οι «ιδέες» του Πλάτωνα), που θα πρέπει, έτσι και αλλιώς, να αναζητούνται αδιάκοπα (Οι πλατωνικοί και νεοπλατωνικοί, καθώς και οι νεοπυθαγόρειοι, σίγουρα το έκαναν).
Τα μικροδιαστήματα και οι εν δυνάμει απειρισμοί δεν μπορούν να θολώσουν την εικόνα της πραγματικής φύσης.
Ο κάθε επιστήμονας – παρατηρητής τότε (και μάλλον ο Πυθαγόρας το ξεκίνησε), όπως και τώρα στις τελευταίες δεκαετίες, επέμενε και επιμένει να ρωτά και να παίρνει απαντήσεις, κατασκευάζοντας έτσι μοντέλα, που μάλλον τον βολεύουν, για να απλοποιεί και να φέρνει στα «μέτρα» του τις αιώνιες αλήθειες.
Οι απαντήσεις όμως είναι για αυτά που το υποκείμενο ρωτά και με τον τρόπο που τα ρωτά, ενώ η πραγματική φύση – ουσία ξεγλιστρά με το ίδιο πάντα ειρωνικό χαμόγελο μπροστά στην αγωνία μας.
Η θεμελιώδης έννοια της αιτιοκρατίας, λοιπόν, εμποδίζει τη σκέψη μας να μεταλλαχτεί και να επαναπροσδιορίσει την πραγματική ουσία του υποκείμενου, που ρωτά, και του αντικείμενου, που υφίσταται τη δράση του. Κάτι που μόνο η κβαντομηχανική των τελευταίων δεκαετιών προσπάθησε, αλλάζοντας έτσι την ήδη υπάρχουσα λογική των θεωρήσεων μας.
Κατ’ αυτή, λοιπόν, την πορεία τόσων αιώνων το υποκείμενο (ανθρώπινος νους) και αντικείμενο (φύσις – αρμονία) πορεύονται σε μια διαρκή αλληλεπίδραση έρωτος, μανίας, τάσεων διαφυγής του ενός από τον άλλον, αλλά σίγουρα και με σημεία αφής και πρόσβασης, παρ’ όλη τη σθεναρή αντίσταση του αντικειμένου να μας δείξει τη βαθύτερη ουσία του…
Όπως και με τα ερωτικά μας «αντικείμενα» του πόθου, η ωραιοποίηση και τελειοποίηση αυτού (του πόθου) και της φύσης μας είναι αναπόφευκτη.
Δε θα είναι λοιπόν και όλα «ακέραια». Εξ άλλου, σε θερμοδυναμικά συστήματα που υπεισέρχεται ιδιαίτερα και ο αντίστοιχος χρόνος (Κρόνος;), τα πάντα «θολώνουν» («φύσις κρύπτεσθαι φιλεῖ»), σε αντίθεση με το στατικό κόσμο της ανόργανης φύσης (π.χ. οι κρύσταλλοι και τα τέλεια γεωμετρικά δομικά τους σχήματα).
Φυσικά, οι Πυθαγόρειοι δεν παραιτήθηκαν των θέσεων τους, αλλά συνέχισαν δικαιολογώντας τα αναγκαστικά «λάθη» στις μετρήσεις τους σ’ αυτό που λέμε επιστημονική διαδικασία[25]… Αλλά κι αν ακόμα έβγαζαν τα επιθυμητά αποτελέσματα για τις μουσικές διαστημικές αναλογίες, το μουσικό αποτέλεσμα θα ήταν σίγουρα όχι και τόσο μελωδικό.
Έχουν δηλαδή ομορφιά και τα κόμματα.
Η ολιστική πραγματικότητα έχει φυσικό νόημα και αρμονία, εντεταλμένη να μορφοποιεί και να ωραιοποιεί με έντονη ποιητική διάθεση την προϋπάρχουσα άτακτη και άμορφη ύλη. Έτσι φτάνουμε στον αισθητό κόσμο, τον κόσμο της εμπειρίας, που αποτελεί μια απτή εικόνα του αιώνιου και τέλειου αρχέτυπου Ωραίου, που καταφαίνεται μέσω της γεωμετρίας, αριθμητικής και μουσικής.
——————————————————————————–
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ – ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. Landau – Lifzhits: Relativistic Quantum Theory, κεφάλαιο «Θεωρία Διαταραχών» (Perturbation theory, διαγράμματα Feynmann και «renormalization»).
2. Από τότε συνέγραψαν έργα με θέμα την αρμονία κατά χρονολογική σειρά οι παρακάτω συγγραφείς:
Δημόκριτος (5ος π.Χ.), «περί Ρυθμών και Αρμονίας» (σώζονται λίγα αποσπάσματα).
Αριστόξενος ο Ταραντίνος (4ος π.Χ.), «Αρμονικά στοιχεία» (σε τρία βιβλία των οποίων έχει διασωθεί το μεγαλύτερο μέρος).
Ευκλείδης (4ος / 3ος π.Χ.), «Εισαγωγική Αρμονική» (σωζόμενο έργο, το οποίο όμως κατά μια άποψη φέρεται να ανήκει και στον Κλεονίδη, 2ος μ.Χ., και κατά άλλη άποψη στον Πάππο Αλεξανδρινό, 3ος μ.Χ.).
Νικόμαχος ο Γερασηνός (2ος μ.Χ.), «Αρμονικόν εγχειρίδιον» (σώζεται).
Γαυδέντιος ο Φιλόσοφος (2ος / 3ος μ.Χ.): «Αρμονική Εισαγωγική» (σώζεται).
Πτολεμαίος Κλαύδιος (2ος μ.Χ.), «Αρμονικά» (σώζεται σε τρία βιβλία).
Βρυέννιος ο Μανουήλ (14ος μ.Χ.), «Αρμονικά» (έργο σωζόμενο, που αποτελεί μια πολύτιμη πηγή για τις θεωρίες και τα δόγματα των Πυθαγόρειων).
3. Πλάτων: Πολιτεία, 617 β.
4. Karl Neef: Ιστορία της Μουσικής.
5. ΄Εργα που οριοθετούν την έννοια αρμονία στη Δύση, αναφέρονται τα εξής:
Εγχειρίδιον Αντίστιξης (Le Institution Harmoniche) του Zarlino, 1558 (Ιταλός θεωρητικός που επέκτεινε τις θεωρίες των Πυθαγορείων πάνω στο ίδιο με αυτούς πνεύμα).
Σύγγραμμα περί Αρμονίας (Le traite de Harmonie) του Ι. Φ. Ραμώ, 1722 (όπου επισημοποιείται ο όρος αρμονία και στη Δύση με τη κλασική της μορφή-έννοια, με την οποία διδάσκεται στα ωδεία ακόμα και σήμερα).
6. Νέστωρ Ταίηλορ: Η Αρμονία των Πυθαγορείων, Νεφέλη, Αθήνα 2000.
7. P. Hindemith: Σύστημα Μουσικής Σύνθεσης, Κ. Νάσος 1979, σελ. 63.
8. Εγκυκλοπαίδεια «Πυρσός», αντίστοιχο λήμμα.
9. Θεόδωρος Χρηστίδης: Χάος και πιθανολογική αιτιότητα, Εκδόσεις Βάνιας, 1997.
10. Αριστοτέλης: Ρητορική [ΙΙ], απόσπασμα 1.
11. Αναφορά για την κρυμμένη αρμονία έχει κάνει και ο Σωκράτης στο Φαίδρο, καταδεικνύοντας έτσι μια ηρακλείτεια επίδραση. Εκεί το άκουσμα, ο μουσικός ήχος, είναι το μέσο της μετάβασης για το «μουσικό άνθρωπο» από την εμφανή αρμονία της εμπειρίας στην αφανή, στην κρυμμένη.
12. Werner Heisenberg: Φυσική και φιλοσοφία, Εκδόσεις Κάλβος 1978, σελ. 50-51.
13. Για τη ζωή και το έργο του Πυθαγόρα, μπορεί κανείς να βρει πληροφορίες: α) στο αντίστοιχο λήμμα της εγκυκλοπαίδειας «Πυρσός» και β) στο βιβλίο: «Η Θεωρητική Αριθμητική των Πυθαγορείων», Thomas Taylor, Εκδόσεις Ιάμβλιχος 1999, σελ. 15.
Σημειώνουμε ότι δεν πρέπει να παραβλέπεται το γεγονός πως το κύριο πρόβλημα για τον Πυθαγόρα είναι η έλλειψη πηγών, αφού οι δύο βιογραφίες του, που έχουν φτάσει ώς εμάς σήμερα, είναι του Πορφύριου και του Ιάμβλιχου, που έζησαν 800 χρόνια αργότερα από αυτόν. Κατά τους μελετητές του, οι πληροφορίες περιέχουν τόσο πραγματικά όσο και μυθικά στοιχεία.
14. Νέστωρ Ταίηλορ: Η Αρμονία των Πυθαγορείων.
15. Σόλων Μιχαηλίδης: Εγκυκλοπαίδεια της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής, λήμμα «Μονόχορδο».
16. ΄Ενα σύμβολο τέτοιο θα μπορούσε να θεωρηθεί ο λάβρυς της μινωικής Κρήτης και μεταγενέστερα ο σταυρός στο χριστιανισμό.
17. Σόλων Μιχαηλίδης: Εγκυκλοπαίδεια της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής, λήμμα «Δίδυμος ο Αλεξανδρεύς».
18. Ομοίως, λήμμα «Αρχυτας».
19. Θεμελιωτής της μαθηματικής επιστήμης, την οποία ανήγαγε σε φιλοσοφική θεωρία, εισάγοντας παράλληλα την έννοια του μαθηματικού στοχασμού. (Thomas Taylor: Η Θεωρητική Αριθμητική των Πυθαγορείων, Ιάμβλιχος 1999, σελ. 20).
20. Μια αρμονία, την οποία αφουγκραζόταν ο Πυθαγόρας, όπως συνήθιζε να λέει ο ίδιος (T. Taylor, ομοίως, σελ. 22).
21. Για τους Πυθαγορείους, ο «κόσμος» δεν είναι απλά ένα αντικείμενο έρευνας, πειραματισμού και επιβολής, αλλά μια ιερή τάξη γεμάτη δυνάμεις. Και η συμμετοχή σ’ αυτές δρα αποκαλυπτικά στη νόησή μας και διεγείρει βαθύτατα τον εσωτερικό μας κόσμο. Ένα σύμπαν οργανωμένο και έμψυχο, μικρογραφία του οποίου είναι και ο ίδιος ο άνθρωπος.
22. Σόλων Μιχαηλίδης: Εγκυκλοπαίδεια Μουσικής, λήμμα «Νικόμαχος».
23. Πλάτων: Τίμαιος, Εκδόσεις Κάκτος.
24. Α. Καίσλερ: Οι υπνοβάτες, Εκδόσεις Χατζηνικολή, σελ. 25.
25. Νέστωρ Ταίηλορ: Η Αρμονία των Πυθαγορείων.
πηγή: Εκηβόλος
